СТАТИСТИЧЕСКИЙ КОНТРОЛЬ НАДЕЖНОСТИ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ КОМПЛЕКСОВ

§ 5.1. ПРИНЦИПЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО КОНТРОЛЯ (ОЦЕНИВАНИЯ) ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

В предыдущих главах при рассмот­рении показателей эффективности и надежности оперировали с веро­ятностными характеристиками (показателями), являющимися мерой свойства какого-либо множества. При статистическом контроле такое множество рассматривается как генеральная совокупность.

Иногда считают, что генеральная совокупность бесконечна, одна­ко в ряде практических задач целесообразно выделять конечную ге­неральную совокупность. Например, для всех ЛК с ЛА одного типа показатель надежности Р(тпл) является математическим ожиданием доли ЛА, которые не откажут в полете. Если в генеральной совокупности 1000 ЛА и надежность Р(тпл) =0,950, то это значит, что 950 из 1000 ЛА будут в полете работать безотказно. Для каждого ЛА данной генераль­ной совокупности возникновение отказа случайно, т. е. появление от­каза для одного ЛА — случайное событие с каким-то законом распре­деления и математическим ожиданием Р(тпл).

Считаем, что имеется случайная величина X с исходным законом распределения F(x), который определяется вектором числоеых харак­теристик ©ж (в частном случае 0Ж— параметр). Для статистического оценивания неизвестного параметра 0Т производят репрезентативную (представительную, хорошо отражающую генеральную совокупность) выборку (xi, а’2, …, х„). Рассматриваем пример: допустим, что для оце­нивания величины Р (тпл) проводят пуски Шиз 1000 Л А. Результаты 10 пусков составят выборку, и если условия эксперимента полно отра­жают оцениваемые свойства генеральной совокупности, то Еыбсрку можно считать репрезентативной.

По данным выборки можно получить наилучшую статистическую

оценку 0Ж параметра 0Ж. Так как выборка (результаты испытаний)

/

имеет случайный характер, то и статистическая оценка ©ж случайна. Как всякая случайная величина, она может характеризоваться зако­
ном распределения Fk, (0Ж) и числовыми характеристиками этого зако — на (математическим ожиданием М0Ж1, дисперсией Df0xl и т. д.).

Естественно, что расчетные формулы для получения оценок 0Ж будут зависеть от исходного распределения F(x), выборки (хь х2, …, хп), а также требований, предъявляемых к оценке.

Обычно стремятся получить несмещенные эффективные и состоя­тельные оценки. Для несмещенной оценки ее математическое ожида­ние совпадает с истинным значением оцениваемого параметра

М0Ж] = ©х (5.1)

•Эффективная оценка для данного объема выборки имеет минималь­ную дисперсию

£>[©*! = min. (5.2)

Состоятельная оценка ©ж с возрастанием объема выборки п сходит­ся по вероятности к истинному значению 0Ж. Иначе это можно сформу-

лировать так. Оценка 0Ж состоятельна, если для любых сколь угодно малых положительных еиг] существует такое пи что при п> nt вы­полняется неравенство

Вер{|©ж— 0ж|<б}>1— У] (п>п1). ]

Заметим, что с увеличением объема выборки п плотность вероят- ности оценки /в (0Ж, п) приближается к истинному значению 0Ж =

==,Mf©J, т. е. дисперсия оценки D10J с ростом объема выборки стре — мится к нулю (рис. 5.1). Когда испытана вся генеральная совокупность,

случайная величина ©ж превращается в неслучайную (детерминирован­ную) ©ж. Таким образом, испытав всю генеральную совокупность, можно абсолютно точно определить ее свойства. В реальных условиях выборка существенно меньше генеральной совокупности, поэтому не­обходимо определить достоверность оценки, что чаще всего решают

нахождением доверительного интервала, или доверитель­ных пределов, которые с вы­сокой доверительной вероят­ностью, или коэффициентом доверия, покрывают неизвест­ное истинное значение иско­мого параметра.

Достоверность оценки оп­ределяется или двусторонним доверительным интервалом, включающим в себя нижний

/х /ч

©жн и верхний 0ЖВ довери­тельные пределы, или одно-

/ч

сторонним, включающим в себя нижний (@ж1н, со) (рис. 5.2, а) или верхний (— оо, 0д.1в) (рис. 5.2, б) доверительные пределы.

Двустороннему доверительному интервалу (©жн, в*в) (рис. 5.2, в) соответствует доверительная вероятность у, а одностороннему нижнє-

/X /ч

МУ (0*,h> °°) или верхнему (—оо, 0Ж, В) доверительному интервалу —

Рис. 5.2. Двусторонние и односторонние доверительные пре­делы

вероятность у і или yz. Поэтому (1—уі) + (1 — yzf — 1 — Y или 7 — = Yl + Ї2 — 1 ■

При статистическом оценивании доверительные пределы ©а;Н и ©жв случайны, так как они откладываются от случайной оценки ©*:

©жн. в = ©ж A©x(y. «)• (5.3)

Величина А©,, зависит от закона распределения оценки /е (@ж, п), объема выборки п и принятой доверительной вероятности у. т. е.

л

(Д-рДвд.

вер (вж—Д0ж<©ж<еж4- A© J = j /0(0,;. п) dQx = Y, (5.4)

л

0д- Авх

где А©*, п, у — параметры.

л

Получив по выборке объемом п оценку ©х и задавшись величиной

Y, можно найти Д©х при известной плотности /« (©*, п), т. е. определить длину доверительного интервала, который с вероятностью у покроет истинное значение ©ж.

Обратная задача — определение объема выборки, при которой мож­но с заданной точностью ± А©х и доверительной вероятностью у оценить параметр ©ж. В этом случае (рис. 5.3) назначают неслучайный доверительный интервал (0Х — А©х, 6Х + А0Х), на который с веро-

/Ч

ягностыо y попадет случайная оценка ©ж, определяемая по выборке объемом п, т. е.

Строго говоря, плотности распределения, входящие в (5.4) и (5.5.), могут отличаться (например, в [35,68] фидуциальные интервалы),

но в практических задачах такие

Рис. 5.3. Неслучайный довери­тельный интервал статистической оценки

®Ж+Д©х)= J /« (©*. я) *вх= V — (5.5)

©я — параметра 6,:; определить дву­сторонний или односторонний до­верительный интервал, покрывающий истинное значение 0жс высокой вероятностью у.